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案例1-毕业论文.zip
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1 前言（一级标题）
轮廓描述是图像目标形状边缘特性的重要表示方法，结合边缘提取的特点，其表
示的精确性由以下三个方面的因素[1]决定：⑴ 边缘点位置估计的精确度；⑵
曲线拟合算法的性能；⑶ 用于轮廓建模的曲线形式。基于几何特性的形状描述
方法能够提供较为直接的形象感知，其表现为空间域的特性使得后续的处理变得
复杂、代价大[2]。基于 Fourier 变换的形状描述方法将形状变换到频率域来处
理，使得形状分析变得更加快捷高效。Wavelet 变换理论是在窗口 Fourier 变换
的基础上发展起来的，它更是提供天然的多分辨率表示，基于 Wavelet 变换的形
状表示方法则提供了对形状的多尺度描述[3] [4]。
围绕第⑶方面因素，本文将通过实验对频率域特性描述子的描述性、视觉不变性
和鲁棒性的对比分析，讨论两种基于频率域特性的平面闭合轮廓曲线描述方法
（傅立叶描述子，Fourier Descriptor, FD 和小波描述子，Wavelet Descriptor,
WD）在形状分析及识别过程中的性能，并提出一种基于小波包分解的轮廓曲线描
述方法（Wavelet Packet Descriptor, WPD），通过与 WD 的对比表明其更强的细
节刻画能力。
2 FD 和 WD 的描述性对比（一级标题）
对曲线的 Fourier 变换而言，系数的个数是无限的，但是数字图像目标形状的轮
廓是有限点集，我们不可能用一个无限的对象来对应一个有限的对象，因此导致
了 Fourier 系数的截取问题，系数的截取代表了信息的损失。
(a) 目 标 的 原 始
轮廓
(b)
64�n
(c)
32�n
(d)
16�n
(e)
8�n
(f)
4�n
图 2-1 FD 不同系数截取对轮廓曲线的重建
实验结果如图 2-1 所示，对德国豹式 II 主战坦克的原始轮廓的基于等弧长的二
次采样点
512�S
个，对于 Fourier 系数的截取，当
Sn
S
��
4
时，FD 对曲线的重
建能够比较有效地反映原始曲线的形状。通常情况下，针对不同的应用，如果目
标轮廓曲线比较平滑，则
n
的取值可以小些；如果曲线复杂细致，则
n
的取值应
该大些，甚至可以大于
S
。
WD 的描述性除了与图像目标形状的采样有关外，还与参数最粗尺度
M
与截断系
数
0
m
有关。根据离散小波变换，采样点为
n
的源信号被分解成
n
个高频部分的系
数和
n
个低频部分的系数，此时造成信息冗余[5]。采用间隔抽取，即使截断系
数
1
0
�m
，WD 的系数个数也不会超过原始轮廓的采样点数。
最粗尺度
M
决定小波分解的层数，直接关系着计算量；截断系数
0
m
则决定着舍
弃细节的程度，如果
0
m
过大，则会造成细节的过度丢失，如果
0
m
太小，则 WD
系数的个数又太多。因此就有着两方面的权衡问题。
(a)
2,8
0
�� mM
(b)
4,8
0
�� mM
(c)
6,8
0
�� mM
(d)
8,8
0
�� mM
图 2-2 WD 对轮廓曲线的重建
实验结果如图 2-2 所示，对德国豹式 II 主战坦克的原始轮廓的二次采样点
512�S
个，对于 WD 的截断系数
6
0
�m
时，WD 对曲线的重建能够比较有效地反
映原始曲线的细节部分，而当
6
0
�m
时，重建后的轮廓变得平滑。Chuang[6]认
为分解的层数只需要使最粗尺度的系数个数 4 到 16 个即可；杨[9]认为当
256�S
时，截断系数在 3 到 5 之间。 分解层数和截断系数的确定都必须根据应用特点
和需求来决定，轮廓采样点越多，分解层数越多并且截断系数也可越大；当轮廓
点本身较少，分解层数自然也少，同时也限制着截断系数。
从上述 FD 和 WD 的描述性看，FD 具有计算相对简单，结构单一的特点，但其描
述目标形状轮廓的能力相对较弱，并且受如下局限：①Fourier 描绘子要求轮廓
曲线必须是闭合的；②要求均匀间隔地选取轮廓上的点；③快速 Fourier 变换要
求点序列的长度是 2 的整数次幂。
对于 WD 来讲，其自身的多尺度描述能力更为有利于对目标轮廓描述的准确性，
同时 WD 可以用更少的系数来表示 FD 所能表示的轮廓精细程度，换句话说，就是
相同数量的系数，WD 具有更强的描述能力。WD 也要求轮廓曲线必须是闭合的，
但不受其他条件的约束，具有更简洁的结构。当然，从计算量来看，基于 Wavelet
变换的方法要高于基于 Fourier 变换的方法。
3 闭合轮廓描述方法不变性分析（一级标题）
3.1 FD 的不变性分析（二级标题）
针对形状描述子的不变性要求，Fourier 描述在轮廓发生平移、旋转、尺度和起
始点发生变化的结果[7]，如表 3-1 所示。
表 3-1 FD 受轮廓变化的影响
变 化
量
FD
� �
n
a
�
平移
0
l
�
�
�
��
�
�
�
0,
0,
0
nla
na
a
n
n
n
旋转
0
�
n
i
n
aea ��
�
0
�
尺度
0
C
nn
aCa ��
�
0
起始
点
0
k
n
k
L
n
ikl
L
n
i
nn
aeeaa ���
�
�
00
2
)(
2
��
由表 3-1 可知，平移只改变
0
a
�
，旋转后新系数等于原系数乘以
0
�
i
e
，尺度变化后
新系数等于原系数乘以尺度变化因子
0
C
，起始点沿曲线移动一个距离
0
k
后系数
n
a
的幅值不变，仅相位变化了
0
nk
。
由上述分析可知，在对曲线的形状进行描述或识别时，若只考虑
}0,{ �na
n
，可
以消除平移带来的影响；若再对它们取幅值，可以消除起始点位置和旋转的影响；
若它们的幅值都除以
1
a
来对归一化处理，那么无论轮廓发生何种变换，其
Fourier 系数（除
0
a
外）幅值是相同的。换句话说，经过处理的
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 0,
1
n
a
a
a
n
n
具
有平移、旋转、刻度改变及起始点位置不变性。
3.2 WD 的不变性分析（二级标题）
基于窗口 Fourier 变换理论发展起来的 Wavelet 变换理论，具有天生的多尺度分
析能力。Wavelet 描述在轮廓发生平移、旋转、尺度和起始点发生变化的结果
[22]，如表 3-2 所示。
表 3-2 WD 受轮廓变化的影响
变 化
量
WD{
M
n
a
�
，
M
n
c
�
，
m
n
r
�
，
m
n
d
�
}
平
移
),(
00
��
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
2/
0
2/
2
2
�
�
MM
n
MM
n
M
n
M
n
c
a
c
a
，
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m
n
m
n
m
n
m
n
d
r
d
r
旋
转
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
M
n
M
n
M
n
M
n
c
a
c
a
)cos()sin(
)sin()cos(
��
��
，
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m
n
m
n
m
n
m
n
d
r
d
r
)cos()sin(
)sin()cos(
��
��
尺
度
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
M
n
M
n
M
n
M
n
c
a
c
a
�
，
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m
n
m
n
m
n
m
n
d
r
d
r
�
由表 3-2 可知，平移和尺度缩放时，差异均为常量，可通过约简和归一化的方法
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