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　2004 年 6 月系统工程理论与实践第 6 期　

文章编号: 100026788

(

2004

)

0620084209

AHP

中不一致性判断矩阵调整的新方法

骆正清

(

合肥工业大学管理学院, 安徽合肥　230009

)

摘要: 　设计了一种交互式的算法, 用该算法调整不一致性判断矩阵, 可以得到多个满足一致性要求的

合理方案, 专家或决策者可根据自己的意愿, 从这些方案中选择一个满意的方案. 实验表明: 该算法是有

效的、可行的.

关键词: 　层次分析法; 判断矩阵调整; 交互式算法

中图分类号: 　

223　　　　　　　　文献标识码: 　

A N ew M ethod for A djusting Inconsistency

Judgm ent M atrix in AHP

LUO Zheng

qing

(

Schoo l of M anagem ent

Hefei U niversity of Technology

Hefei

230009,

China

)

Abstract

A n interactive algorithm for adjusting inconsistency judgm ent m atrix is p roposed

By the

algorithm

several rational so lutions can be obtained

and tho se so lutions fit to the consistency require

M eanw hile experts o r decision m aker can choo se any one from the solutions by them selves p references if

only they thank that the so lution is satisfying

Experim ents indicate that the algo rithm is effective and

p ractical

Key words

analytic hierarchy p rocess A HP

;

adjustm ent of judgm ent m atrix

;

interactive algorithm

收稿日期: 2003208204

资助项目: 国家自然科学基金

(

79800024

)

　　作者简介: 骆正清

(

1963-

)

, 男, 安徽繁昌人, 博士, 副教授. 研究方向: 多目标决策, 企业知识管理

1　引言

作为一种定性与定量相结合的决策工具, 层次分析法在相关领域得到了广泛的应用. 然而, 运用该方

法进行方案排序时, 构造出来的判断矩阵往往不能满足一致性要求, 因此, 如何调整已构造出的判断矩阵

并使之通过一致性检验, 一直困扰着人们. 近年来有些学者已提出了一些调整方法, 这些方法总体上可归

为两大类: 一类可称为机械法

[1- 4]

, 一类可称为主观法

[5, 6 ]

. 所谓机械法, 即当由专家或决策者

(

统称为判

断者

)

构造出的判断矩阵不满足一致性要求, 可依据一定的规则, 由计算机自动调整判断矩阵

(

或由专业人

员计算

)

, 直至满足一致性要求为止. 机械法的不足是: 调整过程中没有判断者参与; 并且有的方法只有唯

一解, 有的方法得到的判断矩阵一般都带有小数. 很显然, 带有小数的调整方案不符合判断者心理期望,

尽管有多个解, 判断者也不愿意从中选择. 对于只能得到唯一解的调整方法, 也不是很合理. 这是因为:

导致判断矩阵不一致的因素有时比较复杂, 比如, 它既可能是判断矩阵中某一元素取值过大造成的, 也有

可能是其它元素取值过小造成的. 所谓主观法, 就是判断者在一定的规则提示下, 自行调整判断矩阵. 不

过, 在上述主观法

[5, 6 ]

中, 判断者实际上只能在规则的引导下, 被动地去选择由规则确定的某个元素. 并且

一旦选定某个元素, 调整随意性很大, 这就导致得到的调整方案往往更不合理. 比如文献[5, 6 ]中给出的

调整方案, 判断矩阵中的某些元素值调整后与调整前相差太大, 从根本上已经违背了判断者的最初意愿.

此外, 通过研究还发现, 对不满足一致性要求的判断矩阵, 用不同的方法求解, 虽说最后都能得到满足一致

性要求的调整方案, 但是, 不同的方法所得到的调整方案是不同的. 不过, 这一点也给我们一个启示: 即对

不满足一致性要求的判断矩阵, 确实存在多个调整方案——使调整后的判断矩阵满足一致性要求.

根据以上分析, 作者认为: 一种合理的调整方法, 应当让判断者参与判断矩阵的调整. 这是因为, 最初

的判断矩阵是由判断者构造出来的, 因此, 对判断矩阵的调整也应该尊重他们的意愿. 此外, 一种合理的

调整方法, 还应该能产生多个满足一致性要求的方案, 以便让判断者能够进行比较, 并从中选择他们认为

最满意的方案. 基于以上思考, 本文将设计出一种能满足以上两点要求的交互式的算法.

2　判断矩阵调整的新方法

在给出新的调整方法之前, 我们先研究一下具有完全一致性的判断矩阵的一些特性.

211　具有完全一致性判断矩阵的特性

假定有一组被比较对象: A

, …,A

, 它们的权重分别为:W

, …,W

, 构造判断矩阵A

如下: A =

(

)

n×n

(

w

)

n×n

, 也即:

A =

W

… W

W

… W

W

… W

W



W

… W

W

　　矩阵A 各列的含义是: 第一列表示以A

为基准, 所有的被比较对象与A

的重要性之比所构成的列向量; 第

二列表示以A

为基准, 所有的被比较对象与A

的重要性之比所构成的列向量, …, 第n 列表示以A

为基准, 所

有的被比对象与A

的重要性之比所构成的列向量. 显然, 判断矩阵A 具有完全一致性, 即对于任意的 k, 都有

= a

× a

, i, k, j Φ n, 并且用特征根法或“和积法”求得的权重就是W

, …,W

现对判断矩阵

的每一列作归一化处理, 得矩阵A ′为:

A ′=

… W



… W

　　矩阵A ′的含义是: 分别以A

(

= 1, 2, …, n

)

为基准, 然后用A

, …,A

和它们进行重要性比较, 再

单独计算每一组的权重: w

, …,w

, j = 1, 2, …, n, 由此可以得到 n 个权重向量w

(

, …,

)

, j = 1, 2, …, n; 那么, 这 n 个权重向量就是矩阵A ′中的第一列至第 n 列的 n 个列向量, 并且各组得

到的权重向量都相同 —— 它就是所有被比较对象的权重向量, 即: w

= w

= …= w

= w

. 此处w

(

1, 2, …, n

)

表示以A

为基准进行比较时,A

获得的权重; w

是A

的权重.

再对矩阵A ′作如下变换, 即选取其中的任何一个列向量, 用该向量的各分量除以矩阵A ′中所有的列

向量中与之对应的各分量 —— 该操作姑且称为“列向量除法”, 则得矩阵A ″:

A ″=

1 1 1 … 1



1 1 1 … 1

　　经过归一化处理和“列向量除法”以后, 得到的矩阵A ″中的每一个元素值都为 1. 由此可以得出如下

的定理.

定理　判断矩阵A 满足完全一致性的充要条件是: 对该判断矩阵的每一列分别作归一化处理和“列

向量除法”后, 得到的新矩阵A ″中的所有元素值都是 1.

证明　充分性: 设有一判断矩阵A =

(

)

n×n

, 并且A 满足完全一致性. 由完全一致性可知, 对于任意

第 6 期

AH P

中不一致性判断矩阵调整的新方法

的 k, 都有a

= a

×a

, i, k, j Φ n. 令k = n; i, j = 1, 2, …, n, 由前面的等式可以得到下列n

个等式:

= a

× a

, a

= a

× a

, a

= a

× a

, …, a

= a

× a

, i = 1, 2, …, n. 将以上得到的 n

个等

式的右式代入矩阵A , 然后对矩阵A 各列作归一化处理, 得矩阵A ′=

(

′

)

n×n

, 且 a

′

= a



(

+ a

+ …

+ a

)

. 对于矩阵A

′, 再用其第一列中的各分量

(

或其它任何一列

)

分别除以每一列中对应的各分量, 得矩

阵A ″, 此时, 矩阵A ″所有的元素 a

″

都为 1. 充分性证毕.

必要性: 已知某一判断矩阵A 经过归一化处理和“列向量除法”后, 所有的元素都为 1, 那么, 该判断矩

阵的秩应该为 1. 下面用反证法证明必要性. 假定原判断矩阵不具有完全一致性, 那么, 一定存在某一个 k

和 a

, 使得下列不等成立: a

≠ a

× a

. 现分别取 j = 1, 2, …, n, 可得下列 n 个不等式: a

≠ a

× a

≠ a

× a

, …, a

≠ a

× a

. 根据上面 n 个不等式可知, 矩阵A 中的第 k 行和第 i 行不成比例, 故矩

阵A 的秩至少为 2, 与已知矛盾. 因此, 假设不成立, 也即原判断矩阵A 具有完全一致. 必要性证毕.

212　不满足一致性要求的判断矩阵调整方法

由 211 的分析可知, 对任何一个判断矩阵A , 先对其各列作归一化处理, 然后再用归一化后的任何一

列的中各分量, 分别除以矩阵中所有列中的对应分量, 如果得到的新矩阵中所有的元素值都为 1, 则该判

断矩阵满足完全一致性要求

(

此时, CR = 0

)

; 如果该矩阵中的所有元素值都有接近 1, 则该判断矩阵的一

致性应该比较好

(

此时, CR < 011

)

; 如果某些元素值与 1 偏差较大, 则该判断矩阵的一致性比较差

(

此时,

CR Ε 011

)

, 则需要对该矩阵进行调整. 对调整后的判断矩阵再重新计算其一致性指标CR , 如果CR 小于

011, 则调整结束; 否则, 重复以上步骤, 直至满足一致性要求. 这就是本文新算法的设计思路.

此外, 根据第 1 部分的分析, 本文将要给出的新算法的指导思想是: 新算法既要保证调整后的判断矩

阵满足一致性要求, 又要在调整过程中充分尊重判断者的意愿. 为此, 新的算法首先将给出一定的规则,

然后由规则提示应该调整的元素 a

, 如果判断者认为规则提示的元素应该调整, 则按有关规则调整该元

素 a

及其互反元素 a

j i

的值; 如果判断者认为规则提示的元素不能修改

(

即判断者认为自己以前所做出的

判断是正确的

)

时, 规则应该能给出新的提示, 如此等等, 直到符合一致性要求的合理的调整方案出现. 如

果觉得有必要的话, 再重启动算法, 对原判断矩阵搜索其它合理的调整方案.

根据以上分析, 本文调整判断矩阵的算法如下:

Step

0　输入已构造出来的判断矩阵A 的阶数n 及其值a

, 并打印输出A

(

打印输出A , 主要是为了给

判断者在后面选择调整元素时提供参考

)

Step

1　计算判断矩阵A 的一致性指标CR , 如果CR 小于 011, 则结束调整, 转

Step

6; 否则, 转

Step

2　对判断矩阵A 作归一化处理, 设归一化后的矩阵为A ′

A ′=

(

′

)

n×n

, 其中 a

′

= a



∑

i= 1

(

= 1, 2, …, n

)

Step

3　以A ′中的任何一列向量

(

不妨取第一列

)

的各分量, 除以矩阵A ′的每一列列向量中的对应分

量, 得矩阵A ″

(

)

n×n

, 其中 a

″

= a

′

a

′

; i, j = 1, 2, …, n. 打印输出A ″

(

打印输出A ″, 也是为了给判断

者在后面选择调整元素时提供参考

)

A ″=

1 a

′

a

′

a

′

… a

′

a

′

1 a

′

a

′

a

′

… a

′

a

′

1 a

′

a

′

a

′

… a

′

a

′



1 a

′

a

′

a

′

… a

′

a

′

　　注 1　A ″中除第一列元素 a

″

均为 1 之外, 其它各列的元素a

″

要么大于 1, 要么小于 1, 要么等于 1. 并

且 a

″

的大小不同, 含义也不同. 说明如下:

元素 a

″

大于 1, 说明在判断矩阵A 中, 与第一列

(

参照列

)

中的 a

相比, 第 i 个被比较对象与第 j 个被

比对象的重要性之比的值 a

在第 j 列中取得过大, 以致于第 i 个被比较对象在第 j 列中的权重w

(

判断矩

阵完全一致时,w

就等于第 i 个被比较对象的权重w

)

大于第 i

个被比较对象在第一列中的权重w

(

判断

矩阵完全一致时,w

也等于w

)

, 因此, 为了使第 i

个被比较对象在各列的权重保持大至相等, a

应该减小.

系统工程理论与实践 2004 年 6 月

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