概率论：分赌注问题理论分析+matlab实现

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问题描述：水平相同的两个赌徒A和B，约定先胜t局的人赢得赌注，在赌注中的某时刻，两赌徒中止赌博，此时A胜r局，B胜s局，应如何分配赌注？分析解决：利用概率论相关知识，将具体问题抽象为数学问题，计算出理论结果。再利用matlab进行题目仿真，经多次仿真得到仿真数据。其中，给出了具体推导过程，matlab源代码以及流程图。重要性：赌注问题称为概率论的起源。当荷兰数学家惠更斯（Huygens,C.）到巴黎时，听说费马和帕斯卡在研究赌注问题，也进行了研究，并在1657年撰写了《论赌博中的计算》一书，提出数学期望的概念，推动了概率论的发展。

赌注问题

一问题描述及背景

水平相同的两个赌徒 A 和 B，约定先胜 t 局的人赢得赌注，在赌

注中的某时刻，两赌徒中止赌博，此时 A 胜 r 局，B 胜 s 局，应如何

分配赌注？

------- 这个问题通常称为点数问题，由嗜好赌博的法国学者梅雷

(Meray,H.C.R)于 1654 年向法国数学家帕斯卡(Pascal,B.)提出的。为此帕斯卡和法

国数学家费马（Fer-mat,P.de）于 1654 年 7 月到 10 月之间进行了一系列通信讨

论。赌注问题称为概率论的起源。当荷兰数学家惠更斯（Huygens,C.）到巴黎时，

听说费马和帕斯卡在研究赌注问题，也进行了研究，并在 1657 年撰写了《论赌

博中的计算》一书，提出数学期望的概念，推动了概率论的发展。

二问题分析与解决

两赌徒水平相同，所以每人每局获胜的概率均为

，A 获胜与 B

获胜为对立事件，所以求最后赌注的分配就是求 A 与 B 获胜的概率。

假设先前获胜局数 r>s，

若 A 最后获胜，那么最少需要再进行 t-r 局（之后 A 一直连胜，

直至最终获胜），最多需要进行 2t-r-s-1 局（A 与 B 各差一局获胜）。

假设 A 在第 n 局时最终获胜。

则 A 在前(n-1)局获胜了(t-r-1)局，且在第 n 局获得胜利，则 A 在

前(n-1)局获胜局数 X 满足二项分布

X~B（n-1,

）

所以获胜在前(n-1)局获胜了(t-r-1)的概率为

P(X

t−r−1)

𝐶

𝑡−𝑟−1

𝑛−1

(

)

𝑛−1

所以 A 在第 n 局最终获胜的概率为

𝐶

𝑡−𝑟−1

𝑛−1

(

)

𝑛−1

𝐶

𝑡−𝑟−1

𝑛−1

𝑛

而在第(t-r)局到第(2t-r-s-1)局之中，A 均有可能获胜，

故 A 最终获胜的概率为

2𝑡−𝑟−𝑠−1

𝑛

𝑡−𝑟

𝐶

𝑡−𝑟−1

𝑛−1

(

)

𝑛

所以 B 最终获胜的概率为

1−P

1−

2𝑡−𝑟−𝑠−1

𝑛

𝑡−𝑟

𝐶

𝑡−𝑟−1

𝑛−1

(

)

𝑛

同理可得

当 r<s 时

1−

2𝑡−𝑟−𝑠−1

𝑛

𝑡−𝑠

𝐶

𝑡−𝑠−1

𝑛−1

(

)

𝑛

2𝑡−𝑟−𝑠−1

𝑛

𝑡−𝑠

𝐶

𝑡−𝑠−1

𝑛−1

(

)

𝑛

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