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前言

在数学优化中，分数规划是线性分式规划的推广。分数规划中的目标函数是两个函数的比值，这两个函数通常是非线性的。要优化的比值通常描述系统的某种效率。

1. Concave-convex FP问题

1.1 基本形式

一维问题。符号说明：用R表示实数集，用R+表示非负实数集，再用R++表示严格正实数集，用C表示复数集，用S++表示对称正定矩阵集。\(\mathcal{X}\subseteq\mathbb{R}^{d}(d\in\mathbb{N})\)，A为非负函数\(A(\mathbf{x}):\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}_{+}\)，B为正函数\(B(\mathbf{x}):\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}_{++}\)

\[\begin{array}{l} \mathop {{\rm{maximize}}}\limits_{\bf{x}} \frac{{A({\bf{x}})}}{{B({\bf{x}})}}\\ {\rm{subject to }}{\bf{x}} \in {\cal X} \end{array}\]

二次变换等效形式如下。这种构造有几个性质：分子与分母解耦、最优解与原问题等效、目标函数与原问题等效（比前一个性质更强，适用于多比率问题）、目标函数concave.

\[\mathop {{\rm{maximize}}}\limits_{{\bf{x}},{\mkern 1mu} y} \quad \;2y\sqrt {A({\bf{x}})} - {y^2}B({\bf{x}})\\ {\rm{subject to }}{\bf{x}} \in {\cal X},\;{\kern 1pt} y \in \mathbb{R}. \]

当满足以下条件时，此FP问题为concave-convex ：（1）分子\(A_{m}(\mathbf{x})\)都是concave；（2）分母\(B_{m}(\mathbf{x})\)都convex；（3）约束集\(\mathcal{X}\)是由有限个不等式约束表示的标准形式的非空凸集。

一维FP concave-convex问题算法

步骤1：找到\(\mathbf{x}\)可行解，并将原问题做二次变换等效。
步骤2：由\(y_{m}^{\star}=\frac{\sqrt{A_{m}(\mathbf{x})}}{B_{m}(\mathbf{x})},\;\forall m=1,\ldots,M.\)更新所有\(y_{m}\)，
步骤3：将\(y_{m}\)代入等效问题，求解关于\(\mathbf{x}\)的concave问题，更新\(\mathbf{x}\)。
步骤4：重复步骤2和3，直至收敛。（本算法确保可收敛到一个stationary point）

传统的Dinkelbach’s变换可以比所提出的二次变换更快地收敛，但前者的使用仅限于单个比率问题，而后者能够处理多个比率问题。

1.2 比率和问题 sum-of-ratios

原问题：

\[\underset{\mathbf{x}}{{\text{maximize}}}\quad\ \sum_{m=1}^{M}\frac{A_{m}(\mathbf{x})}{B_{m}(\mathbf{x})}\\ {\text{subject to}}\quad\ \mathbf{x}\in\mathcal{X}\]

等效问题：

\[\underset{\mathbf{x},\,\mathbf{y}}{{\text{maximize}}}\quad\ \sum_{m=1}^{M}\left(2y_{m}\sqrt{A_{m}(\mathbf{x})}-y_{m}^{2}B_{m}(\mathbf{x})\right)\\ {\text{subject to}}\quad\ \mathbf{x}\in\mathcal{X},\;y_{m}\in\mathbb{R}. \]

若满足concave-convex条件，使用算法1求解。

1.3 Max-min Ratio

原问题：

\[\underset{\mathbf{x}}{{\text{maximize}}}\quad\ \min_{m}\left\lbrace \frac{A_{m}(\mathbf{x})}{B_{m}(\mathbf{x})}\right\rbrace \\ \text{subject to}\quad\ \mathbf{x}\in\mathcal{X} \]

等效问题：

\[\underset{\mathbf{x},\,\mathbf{y},\,z}{{\text{maximize}}}\quad\ z\\ {\text{subject to}}\quad\ \mathbf{x}\in\mathcal{X},\;y_{m}\in\mathbb{R},\;z\in\mathbb{R}\\ \quad\ 2y_{m}\sqrt{A_{m}(\mathbf{x})}-y_{m}^{2}B_{m}(\mathbf{x})\geq z,\;\forall m. \]

若满足concave-convex条件，使用算法1求解。

1.4 多维问题

MIMO系统中，分子是向量，分母是矩阵的多维复数情况下考虑FP。\(\mathbf{a}_{m}(\mathbf{x}):\mathbb{C}^{d_{1}}\rightarrow\mathbb{C}^{d_{2}}\),\(\mathbf{B}_{m}(\mathbf{x}):\mathbb{C}^{d_{1}}\rightarrow\mathbb{S}_{++}^{d_{2}\times d_{2}}\),\(\mathbf{a}_{m}^{\dagger}\)为\(\mathbf{a}_{m}(\mathbf{x})\)共轭转置（矩阵同理），\(\mathbf{B}_{m}^{-1}\)为矩阵的逆。

原问题：

\[\begin{array}{l} \mathop {{\rm{maximize}}}\limits_{\bf{x}} \sum\limits_{m = 1}^M {{\bf{a}}_m^ + } ({\bf{x}}){\bf{B}}_m^{ - 1}({\bf{x}}){{\bf{a}}_m}({\bf{x}})\\ \quad {\rm{subject}}\quad {\rm{to}}\quad {\bf{x}} \in X \end{array}\]

等效问题：

\[\mathop {\max }\limits_{{\bf{x}},{\kern 1pt} {\bf{y}}} \sum\limits_{m = 1}^M {\left( {2{\mathop{\rm Re}\nolimits} \{ {\bf{y}}_m^ {\dagger} {{\bf{a}}_m}({\bf{x}})\} - {\bf{y}}_m^ {\dagger} {{\bf{B}}_m}({\bf{x}}){{\bf{y}}_m}} \right)} \\ {\rm{subject to }}{\bf{x}} \in {\cal X},\;{{\bf{y}}_m} \in {\mathbb{C}^{{d_2}}} \]

若满足concave-convex条件，该问题也可使用算法1求解，步骤2替换为\(\mathbf{y}_{m}^{\star}=(\mathbf{B}_{m}(\mathbf{x}))^{-1}\mathbf{a}_{m}(\mathbf{x})\)即可。

2. FP的拉格朗日对偶变换

当FP不满足concave-convex条件时，比如约束集\(\mathcal{X}\)非凸，即\(\mathbf{x}\)含有离散变量时，可用拉格朗日对偶变换（Lagrangian
dual transform），以下直接贴出论文中推导结果。

2.1 一维问题

原问题：

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{x}}{\text{maximize}}\quad\ & \sum_{m=1}^{M}w_{m}\log\left(1+\frac{A_{m}(\mathbf{x})}{B_{m}(\mathbf{x})}\right)\\ \text{subject to}\quad\ & \mathbf{x}\in\mathcal{X} \end{aligned} \]

等效问题：加入了辅助变量\(\gamma_{m}\)

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{x},\,\boldsymbol{\gamma}}{{\text{maximize}}}\quad\ & f_{r}(\mathbf{x},\boldsymbol{\gamma})\\ {\text{subject to}}\quad\ & \mathbf{x}\in\mathcal{X} \end{aligned} \]

\[\begin{aligned}f_{r}(\mathbf{x},\boldsymbol{\gamma})=\sum_{m=1}^{M}w_{m}\log\,(1+\gamma_{m})-\sum_{m=1}^{M}w_{m}\gamma_{m}+\underbrace{\sum_{m=1}^{M}\frac{w_{m}(1+\gamma_{m})A_{m}(\mathbf{x})}{A_{m}(\mathbf{x})+B_{m}(\mathbf{x})}}_{\text{Sum-of-ratio term}}\end{aligned} \]

求解思路：对于固定的\(\mathbf{x}\)，通过\(\partial f_{r}/\partial\gamma_{i}=0\)可以求出\(\gamma_{i}^{\star}\)。然后对后面的分数项，做二次变换等效，引入辅助变量\(y_{m}\)，得到另一个目标函数\(f_{q}(\mathbf{x},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{y})\)，通过\(\partial f_{q}/\partial y_{i}=0\)可以求出\(y_{i}^{\star}\)。这样就只剩下变量组\(\mathbf{x}\)，此时目标函数不含有分数项，可能可以得到一些闭式解，或者\(\mathbf{x}\)中的部分变量有闭式解，其他变量（如离散项）仍需要再找解法。

具体而言（从所给例子中得到），结合(4)，得到：

\[\partial f_{r}/\partial\gamma_{m}=0\quad\rightarrow\quad\gamma_{m}^{\star}=A_{m}(\mathbf{x})/B_{m}(\mathbf{x}) \]

\[f_{q}(\mathbf{x},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{y})=\underbrace{\sum_{m=1}^{M}w_{m}\log\,(1+\gamma_{m})-\sum_{m=1}^{M}w_{m}\gamma_{m}}_{f_{r}{的前两项}}+\sum_{m=1}^{M}2y_{m}\sqrt{\underbrace{w_{m}(1+\gamma_{m})A_{m}(\mathbf{x})}_{\text{分式项的分子A'}}}-y_{m}^{2}\underbrace{\left(A_{m}(\mathbf{x})+B_{m}(\mathbf{x})\right)}_{\text{分式项的分母B'}} \]

\[\partial f_{q}/\partial y_{i}=0\quad\rightarrow\quad y_{m}^{\star}=\frac{\sqrt{A'}}{B'}=\frac{\sqrt{w_{m}(1+\gamma_{m})A_{m}(\mathbf{x})}}{A_{m}(\mathbf{x})+B_{m}(\mathbf{x})} \]

2.2多维问题

原问题：

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{x}}{{\text{maximize}}} & \quad\sum_{m=1}^{M}w_{m}\log\left(1+\boldsymbol{\alpha}_{m}^{\dagger}(\mathbf{x})\mathbf{B}_{m}^{-1}(\mathbf{x})\boldsymbol{\alpha}_{m}(\mathbf{x})\right)\\ {\text{subject to}} & \quad\mathbf{x}\in\mathcal{X} \end{aligned} \]

等效问题：

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{x},\,\boldsymbol{\gamma}}{{\text{maximize}}}\quad\ & f_{r}(\mathbf{x},\boldsymbol{\gamma})\\ {\text{subject to}}\quad\ & \mathbf{x}\in\mathcal{X} \end{aligned} \]

\[f_{r}(\mathbf{x},\boldsymbol{\gamma})=\sum_{m=1}^{M}w_{m}\log\,(1+\gamma_{m})-\sum_{m=1}^{M}w_{m}\gamma_{m}+\sum_{m=1}^{M}w_{m}(1+\gamma_{m})\boldsymbol{\alpha}_{m}^{\dagger}(\mathbf{x})(\boldsymbol{\alpha}_{m}(\mathbf{x})\boldsymbol{\alpha}_{m}^{\dagger}(\mathbf{x})+\mathbf{B}_{m}(\mathbf{x}))^{-1}\boldsymbol{\alpha}_{m}(\mathbf{x}) \]

求解思路：同上。

具体而言（从所给例子中得到）：

\[\partial f_{r}/\partial\gamma_{m}=0\quad\rightarrow\quad\gamma_{m}^{\star}=\boldsymbol{\alpha}_{m}^{\dagger}(\mathbf{x})\mathbf{B}_{m}^{-1}(\mathbf{x})\boldsymbol{\alpha}_{m}(\mathbf{x}) \]

注意，\(f_{r}\)中的“分子”是\(w_{m}(1+\gamma_{m})\boldsymbol{\alpha}_{m}^{\dagger}(\mathbf{x})\boldsymbol{\alpha}_{m}(\mathbf{x})\)，对应的\(\boldsymbol{\alpha'}_{m}(\mathbf{x})=\sqrt{w_{m}(1+\gamma_{m})}\boldsymbol{\alpha}_{m}(\mathbf{x})\)（记得常数项要开根号），而“分母”是\(\mathbf{B'}_{m}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\alpha}_{m}(\mathbf{x})\boldsymbol{\alpha}_{m}^{\dagger}(\mathbf{x})+\mathbf{B}_{m}(\mathbf{x})\)，根据(8)，得到：

\[f_{q}(\mathbf{x},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{y})=\underbrace{\sum_{m=1}^{M}w_{m}\log\,(1+\gamma_{m})-\sum_{m=1}^{M}w_{m}\gamma_{m}}_{f_{r}{的前两项}}+\sum_{m=1}^{M}\left(2{\text{Re}}\left\lbrace \mathbf{y}_{m}^{\dagger}\mathbf{\boldsymbol{\alpha}'}_{m}(\mathbf{x})\right\rbrace -\mathbf{y}_{m}^{\dagger}\mathbf{B'}_{m}(\mathbf{x})\mathbf{y}_{m}\right) \]

\[\mathbf{y}_{m}^{\star}=(\mathbf{B'}_{m}(\mathbf{x}))^{-1}\mathbf{\boldsymbol{\alpha}'}_{m}(\mathbf{x}) \]

3. 具体例子

3.1-3.3都只需要用第一章concave-convex方法求解，3.4-3.6需要用到第二章的拉格朗日对偶变换，而且具体解\(\mathbf{x}\)时需要对离散变量单独开发算法。

3.1 多小区SISO能量分配

第一个例子是具有一组单天线基站（BSs）\(\mathcal{B}\)的下行链路SISO蜂窝网络的经典功率控制问题，每个基站服务于单天线用户。设\(h_{i,j}\in\)C是从BS
j到用户i的下行链路信道；设\(\sigma^{2}\)为加性高斯白噪声（AWGN）功率电平。为每个BS i引入可变\(p_{i}\)作为其发射功率电平，受Pmax功率预算的约束。第i个用户的速率

\[R_{i}=\log\left(1+\frac{|h_{i,i}|^{2}p_{i}}{\sum_{j\ne i}|h_{i,j}|^{2}p_{j}+\sigma^{2}}\right) \]

优化问题如下。

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{p}}{\text{maximize}}\quad\ & f_{o}(\mathbf{p})=\sum_{i\in\mathcal{B}}w_{i}R_{i}\\ \text{subject to}\quad\ & 0\leq p_{i}\leq P_{\max},\;\forall i\in\mathcal{B}. \end{aligned} \]

先说明，对于两种等效方法，都可以使用简单的初始值，比如能量平均分配。此问题可以拓展到多载波\(R_{i}=\sum_{t=1}^{T}\frac{1}{T}\log\left(1+\frac{|h_{i,i}^{t}|^{2}p_{i}^{t}}{\sum_{j\ne i}|h_{i,j}^{t}|^{2}p_{j}^{t}+\sigma^{2}}\right)\)

3.1.1 Direct FP

对log里面的分数项做处理，得到直接FP形式如下。直接使用算法1，可以得到\(y_{i}^{\star}=\frac{\sqrt{A_{m}(\mathbf{x})}}{B_{m}(\mathbf{x})}=\frac{\sqrt{|h_{i,i}|^{2}p_{i}}}{\sum_{j\ne i}|h_{i,j}|^{2}p_{j}+\sigma^{2}}\)，代入后用数值方法求解p（剩下的是凸问题），然后迭代。

\[f_{q}^{\text{DIR}}(\mathbf{p},\mathbf{y})=\sum_{i\in\mathcal{B}}w_{i}\log\Bigg(1+2y_{i}\sqrt{|h_{i,i}|^{2}p_{i}}-y_{i}^{2}\Bigg(\sum_{j\ne i}|h_{i,j}|^{2}p_{j}+\sigma^{2}\Bigg)\Bigg) \]

进一步地，只要目标函数（或叫做效用函数）\(U_{i}\)是关于\(R_{i}\)的nondecreasing concave函数，都可以对\(R_{i}\)里面的分数项使用二次变换等效。

3.1.2 拉格朗日对偶变换求闭式解

应用第二部分的拉格朗日对偶变换方法，首先得到下式，

\[f_{r}^{{\text{CF}}}(\mathbf{p},\boldsymbol{\gamma})=\sum_{i\in\mathcal{B}}w_{i}\log\left(1+\gamma_{i}\right)-\sum_{i\in\mathcal{B}}w_{i}\gamma_{i}+\sum_{i\in\mathcal{B}}\frac{w_{i}(1+\gamma_{i})|h_{i,i}|^{2}p_{i}}{\sum_{j\in\mathcal{B}}|h_{i,j}|^{2}p_{j}+\sigma^{2}} \]

上式引入辅助变量的最优解为\(\gamma_{i}^{\star}=\frac{A_{m}(\mathbf{x})}{B_{m}(\mathbf{x})}=\frac{|h_{i,i}|^{2}p_{i}}{\sum_{j\ne i}|h_{i,j}|^{2}p_{j}+\sigma^{2}}\)，再对最后一项分数项做二次变换，\(f_{r}\)的前两项记为\(\text{const}(\boldsymbol{\gamma})\)

\[f_{q}^{\text{CF}}(\mathbf{p},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{y})=\sum_{i\in\mathcal{B}}2y_{i}\sqrt{w_{i}(1+\gamma_{i})|h_{i,i}|^{2}p_{i}}-\sum_{i\in\mathcal{B}}y_{i}^{2}\Bigg(\sum_{j\in\mathcal{B}}|h_{i,j}|^{2}p_{j}+\sigma^{2}\Bigg)+\text{const}(\boldsymbol{\gamma}) \]

上式引入辅助变量的最优解为\(y_{i}^{\star}=\frac{\sqrt{A_{m}(\mathbf{x})}}{B_{m}(\mathbf{x})}=\frac{\sqrt{w_{i}(1+\gamma_{i})|h_{i,i}|^{2}p_{i}}}{\sum_{j\in\mathcal{B}}|h_{i,j}|^{2}p_{j}+\sigma^{2}},\;\forall i\in\mathcal{B}.\)，然后\(f_{q}\)对\(p\)求导，再结合约束条件中\(p<P_{\max}\)，即可解得

\[p_{i}^{\star}=\min\Bigg\lbrace P_{\max},\frac{y_{i}^{2}w_{i}(1+\gamma_{i})|h_{i,i}|^{2}}{\big(\sum_{j\in\mathcal{B}}y_{j}^{2}|h_{j,i}|^{2}\big)^{2}}\Bigg\rbrace,\;\forall i\in\mathcal{B} \]

最后，\(\gamma_{i}^{\star},y_{i}^{\star},p_{i}^{\star}\)依次迭代，可收敛到最优值。

自行推导\(p_{i}^{\star}\)：首先可以得到\(f_{q}\)中关于\(p_{i}\)的一项为：

\[f_{q,i}=2y_{i}\sqrt{w_{i}(1+\gamma_{i})|h_{i,i}|^{2}}\sqrt{p_{i}}-\sum_{j\in\mathcal{B}}y_{j}^{2}|h_{j,i}|^{2}\cdot p_{i} \]

注意\(f_{q}\)后面一项要拆分再合并才得到\(f_{q,i}\)的后面一项。此时\(f_{q,i}=c_{1}\sqrt{p_{i}}/2-c_{2}\cdot p_{i}\)，令\(\partial f_{q,i}/\partial p_{i}=c_{1}/\sqrt{p_{i}}/2-c_{2}=0\)，则\(p_{i}=(c_{1}/c_{2}/4)^{2}\)，就是上式。

3.1.3 结果比较

图中的SCALE是一个modified version of geometric programming (GP)[32].
要注意，SCALE每次迭代要用数值法解一个GP问题，Direct FP每次迭代要用数值法解一个关于p的凸优化问题，牛顿法中有比较复杂的公式和一部分搜索，而闭式解FP则全是解析解。虽然所提的FP方法需要迭代数多，但复杂度还是要更低的。在作者的测试中，closed-form
FP最快收敛完成。从结果上看，依靠数值法求解的SCALE和Direct FP能得到更好的性能。

在这里插入图片描述

[32] J. Papandriopoulos and J. S. Evans, “SCALE: A low-complexity
distributed protocol for spectrum balancing in multiuser DSL networks,”
IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 55, no. 8, pp. 3711–3724, Jul. 2009

3.2 多小区MIMO beamforming

考虑具有一组BS \(\mathcal{B}\)的下行链路MIMO蜂窝网络。假设每个BS具有M个天线，并且每个用户终端具有N个天线；则经由空间复用每个小区最多支持M个下行链路数据流。设\(\mathbf{H}_{im,j}\in\mathbb{C}^{N\times M}\)是从\({[}BS j{]}\)到 \({[}BS i]\)的第m个数据流中调度的用户的下行链路信道。设σ2是AWGN功率电平。引入变量\(\mathbf{v}_{im}\in\mathbb{C}^{M}\)作为其第m个数据流在BS
i处的下行链路发射波束形成器。流（i，m）的数据速率如下

\[R_{im}(\mathbf{V})=\log\Bigg(1+\mathbf{v}_{im}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,i}^{\dagger}\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)\ne(i,m)}\mathbf{H}_{im,j}\mathbf{v}_{jn}\mathbf{v}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,j}^{\dagger}\Bigg)^{-1}\mathbf{H}_{im,i}\mathbf{v}_{im}\Bigg) \]

令\(\mathbf{V}\)代表所有的\(\{\mathbf{v}_{im}\}\)，加入权重之后，优化问题如下

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{V}}{\text{maximize}}\quad\ & \sum_{i,m}w_{im}R_{im}(\mathbf{V})\\ \text{subject to}\quad\ & \sum_{m=1}^{M}\Vert\mathbf{v}_{im}\Vert_{2}^{2}\leq P_{\max},\;\forall i\in\mathcal{B} \end{aligned} \]

3.2.1 Direct FP

使用1.4节中的方法，做二次变换，得到

\[f_{q}^{\text{DIR}}(\mathbf{V},\mathbf{Y})=\sum_{(i,m)}w_{im}\log\Bigg(1+2\text{Re}\left\lbrace \mathbf{y}_{im}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,i}\mathbf{v}_{im}\right\rbrace -\mathbf{y}_{im}^{\dagger}\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)\ne(i,m)}\mathbf{H}_{im,j}\mathbf{v}_{jn}\mathbf{v}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,j}^{\dagger}\Bigg)\mathbf{y}_{im}\Bigg) \]

根据\(\mathbf{y}_{m}^{\star}=(\mathbf{B}_{m}(\mathbf{x}))^{-1}\mathbf{a}_{m}(\mathbf{x})\)，得到下式。然后数值法求解二次变换后的等效问题（关于V是凸问题），迭代求解。

\[\mathbf{y}_{im}^{\star}=\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)\ne(i,m)}\mathbf{H}_{im,j}\mathbf{v}_{jn}\mathbf{v}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,j}^{\dagger}\Bigg)^{-1}\mathbf{H}_{im,i}\mathbf{v}_{im} \]

3.2.2 拉格朗日对偶变换求闭式解

与3.1.2类似，只不过是矩阵形式的。首先通过拉格朗日对偶得到\(f_{r}\)，再对内部的分式做二次变换得到\(f_{q}\).

\[f_{r}^{\text{CF}}(\mathbf{V},\boldsymbol{\gamma})=\sum_{(i,m)}w_{im}\Bigg(\log(1+\gamma_{im})-\gamma_{im}+(1+\gamma_{im})\mathbf{v}_{im}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,i}^{\dagger}\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)}\mathbf{H}_{im,j}\mathbf{v}_{jn}\mathbf{v}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,j}^{\dagger}\Bigg)^{-1}\mathbf{H}_{im,i}\mathbf{v}_{im}\Bigg) \]

\[\gamma_{im}^{\star}=\mathbf{v}_{im}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,i}^{\dagger}\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)\ne(i,m)}\mathbf{H}_{im,j}\mathbf{v}_{jn}\mathbf{v}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,j}^{\dagger}\Bigg)^{-1}\mathbf{H}_{im,i}\mathbf{v}_{im} \]

\[f_{q}^{\text{CF}}(\mathbf{V},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{Y})=\sum_{(i,m)}\Bigg(2\sqrt{w_{im}(1+\gamma_{im})}\;\text{Re}\lbrace\mathbf{v}_{im}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,i}^{\dagger}\mathbf{y}_{im}\rbrace-\mathbf{y}_{im}^{\dagger}\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)}\mathbf{H}_{im,j}\mathbf{v}_{jn}\mathbf{v}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,j}^{\dagger}\Bigg)\mathbf{y}_{im}\Bigg)+\text{const}(\boldsymbol{\gamma}) \]

\[\mathbf{y}_{im}^{\star}=\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)}\mathbf{H}_{im,j}\mathbf{v}_{jn}\mathbf{v}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{im,j}^{\dagger}\Bigg)^{-1}\cdot\sqrt{w_{im}(1+\gamma_{im})}\mathbf{H}_{im,i}\mathbf{v}_{im} \]

\[\mathbf{v}_{im}^{\star}=\Bigg(\eta_{i}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)}\mathbf{H}_{jn,i}^{\dagger}\mathbf{y}_{jn}\mathbf{y}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{jn,i}\Bigg)^{-1}\cdot\sqrt{w_{im}(1+\gamma_{im})}\mathbf{H}_{im,i}^{\dagger}\mathbf{y}_{im} \]

注意\(\mathbf{v}_{im}^{\star}\)中还有一个变量\(\eta_{i}\)，\(\eta_{i}\)是为功率约束引入的对偶变量，由（互补松弛）最优确定。文章说这个值可以由二分搜索等方法得到，应该是把\(\eta_{i}\)代入上式，

\[\eta_{i}^{\star}=\min\left\lbrace \eta_{i}\geq0:\sum_{m=1}^{M}\Vert\mathbf{v}_{im}(\eta_{i})\Vert_{2}^{2}\leq P_{\max}\right\rbrace \]

需要注意的是，此方法和WMMSE等效算法得到的结果是一致的。与前面类似，Direct FP可以得到更好的性能，而Closed-form
FP可以得到更低复杂度。

自行推导\(\mathbf{v}_{im}^{\star}\)：与3.1.2类似，注意矩阵求导\(\partial\mathbf{b}^{T}\mathbf{X}^{T}\mathbf{Xc}/\partial\mathbf{X}=\mathbf{X}(\mathbf{b}\mathbf{c}^{T}+\mathbf{c}\mathbf{b}^{T})\)，则\(\partial\mathbf{b}^{T}\mathbf{X}^{T}\mathbf{Xb}/\partial\mathbf{X}=2\mathbf{b}\mathbf{b}^{T}\mathbf{X}\).
\(\eta_{i}\)是在求解\(\mathbf{v}_{im}^{\star}\)时，把约束考虑进来之后，构造出来的拉格朗日对偶问题引入的辅助变量。
对于约束\(\sum_{m=1}^{M}\Vert\mathbf{v}_{im}\Vert_{2}^{2}\leq P_{\max}\)，可写为\(\sum_{m=1}^{M}\mathbf{v}_{im}^{\dagger}\mathbf{v}_{im}-P_{\max}\leq0\)，即\(\mathrm{tr}\{\mathbf{V}_{i}^{\dagger}\mathbf{V}_{i}\}-P_{\max}\leq0\)，
构造出

\[f_{q,v}^{\text{CF}}(\mathbf{V},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{Y})=f_{q}^{\text{CF}}(\mathbf{V},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{Y})-\sum_{i}\eta_{i}\left(\mathrm{tr}\{\mathbf{V}_{i}^{\dagger}\mathbf{V}_{i}\}-P_{\max}\right) \]

添加的对偶项求导后为\(2\eta_{i}\mathbf{V}_{i}\).

3.3 能效最大化

跨多个干扰链路的能效最大化是一个更具挑战性的问题。考虑一个空间复用多天线广播信道模型，其中一个发送器配备有M个天线，以向其M个接收器发送单独的数据。假设每个接收机具有N个天线并且支持一个数据流。设\(\mathbf{H}_{m}\in\mathbb{C}^{N\times M}\)是发送方和第M个接收方之间的信道；设\(\mathbf{v}_{m}\in\mathbb{C}^{M}\)是用于传输到第m个接收器的波束形成器。\(P_{on}\)是电路的固定功耗。在这种情况下，能源效率最大化问题如下

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{V}}{\text{maximize}}\quad\ & \frac{\sum_{m=1}^{M}R_{m}(\mathbf{V})}{\sum_{m=1}^{M}\Vert\mathbf{v}_{m}\Vert_{2}^{2}+P_{\text{on}}}\\ \text{subject to}\quad\ & \sum_{m=1}^{M}\Vert\mathbf{v}_{m}\Vert_{2}^{2}\leq P_{\max} \end{aligned} \]

\[R_{m}(\mathbf{V})=\log\Bigg(1+\mathbf{v}_{m}^{\dagger}\mathbf{H}_{m}^{\dagger}\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{n\ne m}\mathbf{H}_{m}\mathbf{v}_{n}\mathbf{v}_{n}^{\dagger}\mathbf{H}_{m}^{\dagger}\Bigg)^{-1}\cdot\mathbf{H}_{m}\mathbf{v}_{m}\Bigg) \]

这个问题里，目标函数是一个分式，而\(R_{m}\)内部又是一个分式，直接使用两次二次变换等效，使用Direct FP方法求解。仿真表明，在单链路问题下，可以收敛到和Dinkelbach等效方法一致的结果，多链路时Dinkelbach方法不适用。

3.4 多小区SISO上行调度和能量分配

考虑无线蜂窝网络的上行链路，B是部署在网络中的基站（BSs）集合，\(\mathcal{K}_{i}\)是与BS i关联的用户集合，每个BS
i及其在\(\mathcal{K}_{i}\)中的关联用户构成一个小区。在每个时隙中，用户被调度为基于小区的上行链路传输。为了用户调度和功率控制的目的，引入变量\(s_{i}\in\mathcal{K}_{i}\)表示在BS
i调度的用户，如果用户\(k\)被调度为上行链路传输，则引入变量\(p_{k}\)表示其发射功率电平。设\(h_{i,k}\in\mathbb{C}\)是从用户k到BS
i的上行信道系数。关于\(s_{i}\)的理解，SISO场景，基站i一个时刻只能与一个设备通信，\(s_{i}\)就是这个设备的编号？比如基站1对设备5，基站2对设备6，那么\(s_{1}=5,s_{2}=6\)
？由于上行链路调度决策对干扰模式有重要影响，即小区i中的特定调度决策si强烈影响其相邻小区中的调度决策sj，因此这个问题很难直接解决。为什么直接讨论拉格朗日对偶变换法（性能比direct
FP差点），因为想得到更多的解析式来讨论？

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{s},\,\mathbf{p}}{\text{maximize}}\quad\ & f_{o}(\mathbf{s},\mathbf{p})=\sum_{i\in\,\mathcal{B}}w_{s_{i}}\log\left(1+\frac{|h_{i,s_{i}}|^{2}p_{s_{i}}}{\sum_{j\ne i}|h_{i,s_{j}}|^{2}p_{s_{j}}+\sigma^{2}}\right)\\ \text{subject to}\quad\ & 0\leq p_{k}\leq P_{\max},\quad s_{i}\in\mathcal{K}_{i}\cup\lbrace\varnothing\rbrace \end{aligned} \]

一种经典的等效方法是

\[f_{o}(\mathbf{p})=\sum_{i\in\,\mathcal{B}}\sum_{k\in{\mathcal{K}}_{i}}w_{k}\log\bigg(1+\frac{|h_{i,k}|^{2}p_{k}}{\sum_{k^{\prime}\ne k}|h_{i,k^{\prime}}|^{2}p_{k^{\prime}}+\sigma^{2}}\bigg) \]

主要问题是，由于目标函数的高度非凸性，功率控制算法的驻点对初始条件高度敏感。因此，这类方法存在严重的过早停止问题。如果某个环节在迭代优化的早期阶段被停用，那么它就永远无法在以后的迭代中被重新激活，因为它的局部梯度会强烈阻碍它这样做。使用GP的方法[30]可以改善这点，但只能在高SINR下工作，但是在小区干扰场景中，SINR往往较低。
使用拉格朗日对偶变换：

\[f_{r}(\mathbf{s},\mathbf{p},\boldsymbol{\gamma})=\sum_{i\in\,\mathcal{B}}w_{s_{i}}\log\left(1+\gamma_{i}\right)-\sum_{i\in\,\mathcal{B}}w_{s_{i}}\gamma_{i}+\sum_{i\in\,\mathcal{B}}\frac{w_{s_{i}}(\gamma_{i}+1)|h_{i,s_{i}}|^{2}p_{s_{i}}}{\sum_{j}|h_{i,s_{j}}|^{2}p_{s_{j}}+\sigma^{2}} \]

与前面的步骤一样，\(\gamma_{i}^{\star}=\frac{|h_{i,s_{i}}|^{2}p_{s_{i}}}{\sum_{j\ne i}|h_{i,s_{j}}|^{2}p_{s_{j}}+\sigma^{2}}\)，再对\(f_{r}\)分数项做二次变换\(f_{q}\)，\(y_{i}^{\star}=\frac{\sqrt{w_{s_{i}}(1+\gamma_{i})|h_{i,s_{i}}|^{2}p_{s_{i}}}}{\sum_{j\in\,\mathcal{B}}|h_{i,s_{j}}|^{2}p_{s_{j}}+\sigma^{2}}\)，也可求得\(p_{k}^{\star}=\min\left\lbrace P_{\max},\frac{w_{k}(1+\gamma_{i})\left|h_{i,k}\right|^{2}y_{i}^{2}}{\left(\sum_{j\in\,\mathcal{B}}\left|h_{j,k}\right|^{2}y_{j}^{2}\right)^{2}}\right\rbrace ,\;\forall k\in\mathcal{K}_{i}\).

\[f_{q}(\mathbf{s},\mathbf{p},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{y})=\sum_{i\in\,\mathcal{B}}w_{s_{i}}\log\,(1+\gamma_{i})-\sum_{i\in\,\mathcal{B}}w_{s_{i}}\gamma_{i}+\sum_{i\in\,\mathcal{B}}\Bigg(2y_{i}\sqrt{w_{s_{i}}(\gamma_{i}+1)\left|h_{i,s_{i}}\right|^{2}p_{s_{i}}}-y_{i}^{2}\Bigg(\sum_{j\in\,\mathcal{B}}\left|h_{i,s_{j}}\right|^{2}p_{s_{j}}+\sigma^{2}\Bigg)\Bigg) \]

重写成如下形式，可以看到问题被解耦，具体地说，“每个小区中的调度和功率优化，即（\(s_{i}\)，\(p_{i}\)），可以在每个小区中独立地完成。即当γ和y固定时，si的优化不依赖于其他sj变量。”（不是很理解，\(y\)和\(\gamma\)的取值不是还和\(s_{j}\)有关么？也不算完全解耦，只是这个式子里确实只关注\(s_{i}\)就行，而且计算\(p_{k}^{\star}\)的时候也不用关注\(s_{i}\)是哪个。）下式也可以看做一个总的效用函数，\(G_{i}(k)({其中计算时}k\in\mathcal{K}_{i})\)是在BS
i处调度用户k的效用增益，而\(D_{j}(k)({其中计算时}k\notin\mathcal{K}_{j})\)则是通过调度用户k干扰相邻小区j的惩罚。即遍历计算每个用户\(k\)的总效用，选最大就完成了\(s_{i}\)的优化，不需要对所有\((s_{1},s_{2},...)\)调度组合做搜索，复杂度大大降低。在实际应用中，可以使用两阶段调度策略来降低该算法的实现复杂度。我们首先根据潜在用户的权重粗略地选择其子集，然后应用算法对调度决策进行细化。

\[f_{q}(\mathbf{s},\mathbf{p},\boldsymbol{\gamma},\mathbf{y})=\sum_{i\in\,\mathcal{B}}\Bigg(\underbrace{w_{s_{i}}\log\,(1+\gamma_{i})-w_{s_{i}}\gamma_{i}-y_{i}^{2}\sigma^{2}+2y_{i}\sqrt{w_{s_{i}}(\gamma_{i}+1)\left|h_{i,s_{i}}\right|^{2}p_{s_{i}}}}_{G_{i}(s_{i})}-\sum_{j\in\,\mathcal{B}}\underbrace{y_{j}^{2}\left|h_{j,s_{i}}\right|^{2}p_{s_{i}}}_{D_{j}(s_{i})}\Bigg) \]

\[s_{i}^{\star}=\begin{cases} \varnothing, & \text{if}\;\max_{k\in\,\mathcal{K}_{i}}\Bigg\lbrace G_{i}(k)-\sum_{j\ne i}D_{j}(k)\Bigg\rbrace\leq0\\ \arg\max_{k\in\,\mathcal{K}_{i}} & \Bigg\lbrace G_{i}(k)-\sum_{j\ne i}D_{j}(k)\Bigg\rbrace,\;\text{otherwise} \end{cases} \]

结果：曲线有交叉，怎么就说明FP好了呢？主要看低速率的。比如横着看，CDF=0.1时，即对最差的10%用户，FP方法对应的data
rate约1Mbps，而Power control约0.5Mbps，FP更保障了这部分差用户的性能。竖着看，速率为2Mbps（按照CDF定义，此处的值表示有多少用户低于此速率），FP只有40%用户，而Power
control有60%用户，FP处于低速率的用户更少，因此更好。而对于最好的20%用户（4Mbps+），FP确实要差一些。但文章还提供了一个表，总速率的性能（总效用函数），FP大幅优于旧方法。

3.5 多小区MIMO上行调度和beamforming

假设每个用户配备有N个天线，并且每个BS配备有M个天线。因此，空间复用可以支持每个小区多达M个数据流（但是一些数据流可能具有零吞吐量）。设s_{im}是在BS
i的第m个流中调度的用户的索引。如果用户k得到调度，则设\(\mathbf{v}_{k}\in\mathbb{C}^{N}\)是用户k的发送波束形成器。设\(\mathbf{H}_{i,k}\in\mathbb{C}^{M\times N}\)是从用户k到BS
i的上行链路信道。

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{s},\,\mathbf{V}}{\text{maximize}}\quad\ & f_{o}(\mathbf{s},\mathbf{V} \text{subject to}\quad\ & \Vert\mathbf{v}_{im}\Vert_{2}^{2}\leq P_{\max}\\ \quad\ & s_{im}\in\mathcal{K}_{i}\cup\lbrace\varnothing\rbrace \end{aligned} \]

\[f_{o}(\mathbf{s},\mathbf{V})=\sum_{(i,m)}w_{s_{im}}\log\left(1+\mathbf{v}_{s_{im}}^{\dagger}\mathbf{H}_{i,s_{im}}^{\dagger}\Bigg(\sigma^{2}\mathbf{I}+\sum_{(j,n)\ne(i,m)}\mathbf{H}_{i,s_{jn}}\mathbf{v}_{s_{jn}}\mathbf{v}_{s_{jn}}^{\dagger}\mathbf{H}_{i,s_{jn}}^{\dagger}\Bigg)^{-1}\mathbf{H}_{i,s_{im}}\mathbf{v}_{s_{im}}\right) \]

问题比较直观，也和3.2与3.4那样先做两次变换，其中

\[\gamma _{im}^ \star = {\bf{v}}_{{s_{im}}}^\dagger {\bf{H}}_{i,{s_{im}}}^\dagger {\left( {{\sigma ^2}{\bf{I}} + \sum\limits_{(j,n) \ne (i,m)} {{{\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}}} {{\bf{v}}_{{s_{jn}}}}{\bf{v}}_{{s_{jn}}}^\dagger {\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}^\dagger } \right)^{ - 1}}{{\bf{H}}_{i,{s_{im}}}}{{\bf{v}}_{{s_{im}}}} \]

\[{\bf{y}}_{im}^ \star = {({\sigma ^2}{\bf{I}} + \sum\limits_{(j,n)} {{{\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}}} {{\bf{v}}_{{s_{jn}}}}{\bf{v}}_{{s_{jn}}}^\dagger {\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}^\dagger )^{ - 1}} \cdot \sqrt {{w_{{s_{im}}}}(1 + {\gamma _{im}})} {{\bf{H}}_{i,{s_{im}}}}{{\bf{v}}_{{s_{im}}}} \]

\[{f_r}({\bf{s}},{\bf{V}},{\bf{\gamma }}) = \sum\limits_{(i,m)} {{w_{{s_{im}}}}} (\log (1 + {\gamma _{im}}) - {\gamma _{im}} + (1 + {\gamma _{im}}){\bf{v}}_{{s_{im}}}^\dag {\bf{H}}_{i,{s_{im}}}^\dag {({\sigma ^2}{\bf{I}} + \sum\limits_{(j,n)} {{{\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}}} {{\bf{v}}_{{s_{jn}}}}{\bf{v}}_{{s_{jn}}}^\dag {\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}^\dag )^{ - 1}}{{\bf{H}}_{i,{s_{im}}}}{{\bf{v}}_{{s_{im}}}}) \]

\[{f_q}({\bf{s}},{\bf{V}},{\bf{\gamma }},{\bf{Y}}) = \sum\limits_{(i,m)} {{w_{{s_{im}}}}} \log (1 + {\gamma _{im}}) - \sum\limits_{(i,m)} {{w_{{s_{im}}}}} {\gamma _{im}} + \sum\limits_{(i,m)} ( 2\sqrt {{w_{{s_{im}}}}(1 + {\gamma _{im}})} \;{\rm{Re}}\left\{ {{\bf{v}}_{{s_{im}}}^\dag {\bf{H}}_{i,{s_{im}}}^\dag {{\bf{y}}_{im}}} \right\} - {\bf{y}}_{im}^\dag ({\sigma ^2}{\bf{I}} + \sum\limits_{(j,n)} {{{\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}}} {{\bf{v}}_{{s_{jn}}}}{\bf{v}}_{{s_{jn}}}^\dag {\bf{H}}_{i,{s_{jn}}}^\dag ){{\bf{y}}_{im}}) \]

接下来的问题又是\(\mathbf{s}\)和\(\mathbf{V}\)的优化问题。将加权二部匹配的思想引入到这两个变量的联合优化中。首先，由\(f_{q}\)可以看出，特定数据流\((i,m)\)的\(s_{im}\)和\(\mathbf{v}_{im}\)与其他流的s和v优化是独立的（类似SISO问题中的“解耦”）。如果某个用户\(k\)在数据流\((i,m)\)中被调度，即\(s_{im}=k\)，则用户\(k\)关于\((i,m)\)的最优发射波束形成器可通过\(\partial f_{q}/\partial\mathbf{v}_{s_{im}}=0\)求得，表示为\(\tau_{k,im}\)，

\[\boldsymbol{\tau}_{k,im}=\Bigg(\sum_{(j,n)}\mathbf{H}_{j,k}^{\dagger}\mathbf{y}_{jn}\mathbf{y}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{j,k}+\eta_{k,im}^{\star}\mathbf{I}\Bigg)^{-1}\cdot\sqrt{w_{k}(1+\gamma_{im})}\mathbf{H}_{i,k}^{\dagger}\mathbf{y}_{im} \]

与3.2中的问题类似，由于约束的引入，多了个\(\eta_{k,im}^{\star}\)，通过二分搜索求解\(\eta_{k,im}^{\star}=\min\lbrace\eta_{k,im}\geq0:\Vert\boldsymbol{\tau}_{k,im}(\eta_{k,im})\Vert_{2}^{2}\leq P_{\max}\rbrace\)

类似3.4节，根据\(f_{q}\)先定义一个将用户\(k\)分配给数据流\((i,m)\)的效用函数:

\[\xi_{k,im}=w_{k}\log\,(1+\gamma_{im})-w_{k}\gamma_{im}+2\sqrt{w_{k}(1+\gamma_{im})}\;\text{Re}\left\lbrace \boldsymbol{\tau}_{k,im}^{\dagger}\mathbf{H}_{i,k}^{\dagger}\mathbf{y}_{im}\right\rbrace -\sigma^{2}\Vert{\mathbf{y}}_{im}\Vert_{2}^{2}-\sum_{(j,n)}\mathbf{y}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{j,k}\boldsymbol{\tau}_{k,im}\boldsymbol{\tau}_{k,im}^{\dagger}\mathbf{H}_{j,k}^{\dagger}\mathbf{y}_{jn} \]

然后，fq最大化问题简化为以下加权二分匹配问题（背包问题），其中二进制变量\(x_{k,im}\)表示用户\(k\)是否调度在数据流(i,m)中。每个用户只能用一个流，每个流只能调度一个用户。通过使用例如匈牙利算法[6]和拍卖算法[7]的具有多项式时间计算复杂度的现有算法，计算复杂度为\(O((K+M)^ 3)\)。此外，由于在实践中，匹配权重ξk，im总是以有限精度进行评估，因此在这种有限精度的情况下，可以使用[34]中的算法将匹配的复杂度降低到\(O((K+M)^ 2)\).

\[\begin{aligned}\underset{\mathbf{x}}{\text{maximize}}\quad\ & \sum_{k\in\,\mathcal{K}_{i}}\sum_{m=1}^{N}\xi_{k,im}x_{k,im}\\ \text{subject to}\quad\ & \sum_{k\in\,\mathcal{K}_{i}}x_{k,im}\leq1,\;\forall m\\ \quad\ & \sum_{m=1}^{N}x_{k,im}\leq1,\;\forall k\\ \quad\ & x_{k,im}\in\left\lbrace 0,1\right\rbrace , \end{aligned} \]

如果考虑预编码权值是离散的，考虑码本

\[{\mathcal{V}}=\left\lbrace \boldsymbol{\phi}_{1},\boldsymbol{\phi}_{2},\cdots,\boldsymbol{\phi}_{|{\mathcal{V}}|}\right\rbrace \]

其中\(\boldsymbol{\phi}_{n}\in\mathbb{C}^{N}\)为一个特定预编码。此时，用户\(k\)关于\((i,m)\)的最优预编码改为（可通过搜索得到，复杂度\(O(|V|))\)

\[\boldsymbol{\tau}_{k,im}=\arg\max_{{\mathbf{v}}\in{\mathcal{V}}}\left\{ 2\sqrt{w_{k}(1+\gamma_{im})}\;\text{Re}\left\lbrace {\mathbf{v}}^{\dagger}\mathbf{H}_{i,k}^{\dagger}\mathbf{y}_{im}\right\rbrace -\sum_{(j,n)}\mathbf{y}_{jn}^{\dagger}\mathbf{H}_{j,k}{\mathbf{v}}{\mathbf{v}}^{\dagger}\mathbf{H}_{j,k}^{\dagger}\mathbf{y}_{jn}\right\} \]

再用背包问题求解，也是一样的。如果先按老方法优化，然后找一个距离最近的波束，即\(\boldsymbol{\tau}_{k,im}=\arg\min_{\boldsymbol{\phi}\in\,{\mathcal{V}}}\Vert\boldsymbol{\phi}-\tilde{{\mathbf{v}}}_{im}\Vert_{2}\)，这样能降低复杂度到\(O(log|V|)\)，虽然看上去是启发式的搜索，但论文里证明了能到最优。

再然后就是和WMMSE方法的比较，对信道差的用户提供的速率比WMMSE好，总效用函数高10%。在K>>M的情况下，WMMSE有更高的communication complexity。在K>>M和N的情况下，FP方法的计算复杂度也要更低（特别是使用更高效的背包问题求解方法后）。

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