我们定义一次宇称变换 (parity transformation) 为反转所有坐标:
如果在一维世界中,宇称变换就像是透过“镜子”看这个世界;在三维世界中,则是将全部体系对于一个参考点做点对称。
空间反演对称性指一个“晶格”体系在经历宇称变换的前后,原子位置、物理公式等特征保持不变的性质,也称宇称守恒。在宇称守恒的条件下,任何偶数次响应的都被禁止。我们也可以理解为:
在具有空间反演对称性的晶体中,偶数阶非线性效应被禁止。
比如说,我给一个晶体施加电场 \(E\), 那么通过实验我们可以测量其电极化率 \(P\). 现在我们将外加电场固定在 x 轴方向上,假设响应电极化矢量在 y 轴方向(如上图). 我们可以将 \(P\)-\(E\) 的响应关系表示为:
现在我们反转外加电场(如上图)。如果该晶体满足宇称守恒的话,所有的物理规律应该在变换前后保持不变。那么反转方向就应该导致:\(E\rightarrow -E\), \(P\rightarrow -P\).即:
联系上述两式,我们可以发现只有在 \(\chi^2=0\) 的条件下,空间反演对称性才可以成立。简单地推广我们就可以发现,如果空间反演对称性成立的话,所有偶次方响应都不应该存在。
那么反过来,如果晶体不满足空间反演对称性,还会有这种限制吗?答案是没有的。
空间反演对称性破缺使得非线性效应被允许。
我们仍然施加一个外加电场,此时的电极化响应具有不确定性。因为晶体不具有空间反演对称性(宇称守恒),如果我们翻转电场,电极化矢量的方向不一定翻转、大小也不一定不变。我们可以用 \(P^{'}\) 加以区分。此时,所有非线性效应都可以存在(\(\chi^2\) 可以是有限值)。
以上我们讨论的都是晶体结构,如果我们考虑到自旋,就会涉及到另一种对称性:时间反演对称性。一次时间反演操作不会改变晶格的坐标,而是会翻转所有自旋方向。