基础数据结构之数组-数字星空

数组

1) 概述

定义

在计算机科学中，数组是由一组元素（值或变量）组成的数据结构，每个元素有至少一个索引或键来标识

In computer science, an array is a data structure consisting of a collection of elements (values or variables), each identified by at least one array index or key

因为数组内的元素是连续存储的，所以数组中元素的地址，可以通过其索引计算出来，例如：

int[] array = {1,2,3,4,5}

知道了数组的数据起始地址 \(BaseAddress\)，就可以由公式 \(BaseAddress + i * size\) 计算出索引 \(i\) 元素的地址

\(i\) 即索引，在 Java、C 等语言都是从 0 开始
\(size\) 是每个元素占用字节，例如 \(int\) 占 \(4\)，\(double\) 占 \(8\)

小测试

byte[] array = {1,2,3,4,5}

已知 array 的数据的起始地址是 0x7138f94c8，那么元素 3 的地址是什么？

答：0x7138f94c8 + 2 * 1 = 0x7138f94ca

空间占用

Java 中数组结构为

8 字节 markword
4 字节 class 指针（压缩 class 指针的情况）
4 字节数组大小（决定了数组最大容量是 \(2^{32}\)）
数组元素 + 对齐字节（java 中所有对象大小都是 8 字节的整数倍[^12]，不足的要用对齐字节补足）

例如

int[] array = {1, 2, 3, 4, 5};

的大小为 40 个字节，组成如下

8 + 4 + 4 + 5*4 + 4(alignment)

随机访问性能

即根据索引查找元素，时间复杂度是 \(O(1)\)

2) 动态数组

java 版本

public class DynamicArray implements Iterable<Integer> {
    private int size = 0; // 逻辑大小
    private int capacity = 8; // 容量
    private int[] array = {};


    /**
     * 向最后位置 [size] 添加元素
     *
     * @param element 待添加元素
     */
    public void addLast(int element) {
        add(size, element);
    }

    /**
     * 向 [0 .. size] 位置添加元素
     *
     * @param index   索引位置
     * @param element 待添加元素
     */
    public void add(int index, int element) {
        checkAndGrow();

        // 添加逻辑
        if (index >= 0 && index < size) {
            // 向后挪动, 空出待插入位置
            System.arraycopy(array, index,
                    array, index + 1, size - index);
        }
        array[index] = element;
        size++;
    }

    private void checkAndGrow() {
        // 容量检查
        if (size == 0) {
            array = new int[capacity];
        } else if (size == capacity) {
            // 进行扩容, 1.5 1.618 2
            capacity += capacity >> 1;
            int[] newArray = new int[capacity];
            System.arraycopy(array, 0,
                    newArray, 0, size);
            array = newArray;
        }
    }

    /**
     * 从 [0 .. size) 范围删除元素
     *
     * @param index 索引位置
     * @return 被删除元素
     */
    public int remove(int index) { // [0..size)
        int removed = array[index];
        if (index < size - 1) {
            // 向前挪动
            System.arraycopy(array, index + 1,
                    array, index, size - index - 1);
        }
        size--;
        return removed;
    }


    /**
     * 查询元素
     *
     * @param index 索引位置, 在 [0..size) 区间内
     * @return 该索引位置的元素
     */
    public int get(int index) {
        return array[index];
    }

    /**
     * 遍历方法1
     *
     * @param consumer 遍历要执行的操作, 入参: 每个元素
     */
    public void foreach(Consumer<Integer> consumer) {
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            // 提供 array[i]
            // 返回 void
            consumer.accept(array[i]);
        }
    }

    /**
     * 遍历方法2 - 迭代器遍历
     */
    @Override
    public Iterator<Integer> iterator() {
        return new Iterator<Integer>() {
            int i = 0;

            @Override
            public boolean hasNext() { // 有没有下一个元素
                return i < size;
            }

            @Override
            public Integer next() { // 返回当前元素,并移动到下一个元素
                return array[i++];
            }
        };
    }

    /**
     * 遍历方法3 - stream 遍历
     *
     * @return stream 流
     */
    public IntStream stream() {
        return IntStream.of(Arrays.copyOfRange(array, 0, size));
    }
}

这些方法实现，都简化了 index 的有效性判断，假设输入的 index 都是合法的

插入或删除性能

头部位置，时间复杂度是 \(O(n)\)

中间位置，时间复杂度是 \(O(n)\)

尾部位置，时间复杂度是 \(O(1)\)（均摊来说）

3) 二维数组

int[][] array = {
    {11, 12, 13, 14, 15},
    {21, 22, 23, 24, 25},
    {31, 32, 33, 34, 35},
};

内存图如下

二维数组占 32 个字节，其中 array[0]，array[1]，array[2] 三个元素分别保存了指向三个一维数组的引用
三个一维数组各占 40 个字节
它们在内层布局上是连续的

更一般的，对一个二维数组 \(Array[m][n]\)

\(m\) 是外层数组的长度，可以看作 row 行
\(n\) 是内层数组的长度，可以看作 column 列
当访问 \(Array[i][j]\)，\(0\leq i \lt m, 0\leq j \lt n\)时，就相当于
- 先找到第 \(i\) 个内层数组（行）
- 再找到此内层数组中第 \(j\) 个元素（列）

小测试

Java 环境下（不考虑类指针和引用压缩，此为默认情况），有下面的二维数组

byte[][] array = {
    {11, 12, 13, 14, 15},
    {21, 22, 23, 24, 25},
    {31, 32, 33, 34, 35},
};

已知 array 对象起始地址是 0x1000，那么 23 这个元素的地址是什么？

答：

起始地址 0x1000

外层数组大小：16字节对象头 + 3元素 * 每个引用4字节 + 4 对齐字节 = 32 = 0x20

第一个内层数组大小：16字节对象头 + 5元素 * 每个byte1字节 + 3 对齐字节 = 24 = 0x18

第二个内层数组，16字节对象头 = 0x10，待查找元素索引为 2

最后结果 = 0x1000 + 0x20 + 0x18 + 0x10 + 2*1 = 0x104a

4) 局部性原理

这里只讨论空间局部性

cpu 读取内存（速度慢）数据后，会将其放入高速缓存（速度快）当中，如果后来的计算再用到此数据，在缓存中能读到的话，就不必读内存了
缓存的最小存储单位是缓存行（cache line），一般是 64 bytes，一次读的数据少了不划算啊，因此最少读 64 bytes 填满一个缓存行，因此读入某个数据时也会读取其临近的数据，这就是所谓空间局部性

对效率的影响

比较下面 ij 和 ji 两个方法的执行效率

int rows = 1000000;
int columns = 14;
int[][] a = new int[rows][columns];

StopWatch sw = new StopWatch();
sw.start("ij");
ij(a, rows, columns);
sw.stop();
sw.start("ji");
ji(a, rows, columns);
sw.stop();
System.out.println(sw.prettyPrint());

ij 方法

public static void ij(int[][] a, int rows, int columns) {
    long sum = 0L;
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < columns; j++) {
            sum += a[i][j];
        }
    }
    System.out.println(sum);
}

ji 方法

public static void ji(int[][] a, int rows, int columns) {
    long sum = 0L;
    for (int j = 0; j < columns; j++) {
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            sum += a[i][j];
        }
    }
    System.out.println(sum);
}

执行结果

0
0
StopWatch '': running time = 96283300 ns
---------------------------------------------
ns         %     Task name
---------------------------------------------
016196200  017%  ij
080087100  083%  ji

可以看到 ij 的效率比 ji 快很多，为什么呢？

缓存是有限的，当新数据来了后，一些旧的缓存行数据就会被覆盖
如果不能充分利用缓存的数据，就会造成效率低下

以 ji 执行为例，第一次内循环要读入 \([0,0]\) 这条数据，由于局部性原理，读入 \([0,0]\) 的同时也读入了 \([0,1] ... [0,13]\)，如图所示

但很遗憾，第二次内循环要的是 \([1,0]\) 这条数据，缓存中没有，于是再读入了下图的数据

这显然是一种浪费，因为 \([0,1] ... [0,13]\) 包括 \([1,1] ... [1,13]\) 这些数据虽然读入了缓存，却没有及时用上，而缓存的大小是有限的，等执行到第九次内循环时

缓存的第一行数据已经被新的数据 \([8,0] ... [8,13]\) 覆盖掉了，以后如果再想读，比如 \([0,1]\)，又得到内存去读了

同理可以分析 ij 函数则能充分利用局部性原理加载到的缓存数据

举一反三

I/O 读写时同样可以体现局部性原理
数组可以充分利用局部性原理，那么链表呢？

答：链表不行，因为链表的元素并非相邻存储

5) 越界检查

java 中对数组元素的读写都有越界检查，类似于下面的代码

bool is_within_bounds(int index) const        
{ 
    return 0 <= index && index < length(); 
}

代码位置：openjdk\src\hotspot\share\oops\arrayOop.hpp

只不过此检查代码，不需要由程序员自己来调用，JVM 会帮我们调用

习题

E01. 合并有序数组 - 对应 Leetcode 88

将数组内两个区间内的有序元素合并

例

[1, 5, 6, 2, 4, 10, 11]

可以视作两个有序区间

[1, 5, 6] 和 [2, 4, 10, 11]

合并后，结果仍存储于原有空间

[1, 2, 4, 5, 6, 10, 11]

方法1

递归

每次递归把更小的元素复制到结果数组

merge(left=[1,5,6],right=[2,4,10,11],a2=[]){
    merge(left=[5,6],right=[2,4,10,11],a2=[1]){
        merge(left=[5,6],right=[4,10,11],a2=[1,2]){
            merge(left=[5,6],right=[10,11],a2=[1,2,4]){
                merge(left=[6],right=[10,11],a2=[1,2,4,5]){
                    merge(left=[],right=[10,11],a2=[1,2,4,5,6]){
						// 拷贝10，11
                    }
                }
            }
        }
    }
}

代码

public static void merge(int[] a1, int i, int iEnd, int j, int jEnd,
                              int[] a2, int k) {
    if (i > iEnd) {
        System.arraycopy(a1, j, a2, k, jEnd - j + 1);
        return;
    }
    if (j > jEnd) {
        System.arraycopy(a1, i, a2, k, iEnd - i + 1);
        return;
    }
    if (a1[i] < a1[j]) {
        a2[k] = a1[i];
        merge(a1, i + 1, iEnd, j, jEnd, a2, k + 1);
    } else {
        a2[k] = a1[j];
        merge(a1, i, iEnd, j + 1, jEnd, a2, k + 1);
    }
}

测试

int[] a1 = {1, 5, 6, 2, 4, 10, 11};
int[] a2 = new int[a1.length];
merge(a1, 0, 2, 3, 6, a2, 0);

方法2

代码

public static void merge(int[] a1, int i, int iEnd,
                             int j, int jEnd,
                             int[] a2) {
    int k = i;
    while (i <= iEnd && j <= jEnd) {
        if (a1[i] < a1[j]) {
            a2[k] = a1[i];
            i++;
        } else {
            a2[k] = a1[j];
            j++;
        }
        k++;
    }
    if (i > iEnd) {
        System.arraycopy(a1, j, a2, k, jEnd - j + 1);
    }
    if (j > jEnd) {
        System.arraycopy(a1, i, a2, k, iEnd - i + 1);
    }
}

测试

int[] a1 = {1, 5, 6, 2, 4, 10, 11};
int[] a2 = new int[a3.length];
merge(a1, 0, 2, 3, 6, a2);

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