分析负数取模与取余的规则-数字星空

负数"取模"

负数"取模"

基本概念

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r,且0 <= r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

//对应代码

int main()
{
int a = 10;
int d = 3;
printf("%d\n", a % d); //结果是1
//因为：a=10,d=3,q=3,r=1 0<=r<d(3)
//所以：a = q*d+r -> 10=3'3+1

return 0;

}

正数比较简单,我们不谈,只看负数,负数的情况还是比较复杂的,先来看看不同平台下负数"取模"的差异

int main()
{
    int a = -10; 
    int d = 3;
    printf("%d\n", a/d); 
    printf("%d\n", a%d);
}

可以看出不同平台下C语言"取模"和取商是没有区别的.再看看python环境下的.

centos7默认python版本是2.7.5,故使用python 2.7.5版本测试. 也可以使用python3.7.3版本测试,结果是相同的

可以发现两种语言负数求商和取余结果是不一样的.

定义中规定,余数是要大于等于0的,而C语言却计算出了负数.

结论:很显然,上面关于取模的定义,并不能满足语言上的取模运算.

因此引出了修正定义

修正定义

因为在C中，-10%3出现了负数，根据定义：满足 a = q*d + r 且0 <= r < d，C语言中的余数，是不满足定义的，因为，r<0了。
故，大家对取模有了一个修订版的定义：
如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = q*d + r , q 为整数，且0 <= |r| < |d|。其中，q 被称为商，r 被称为余数。
有了这个新的定义，那么C中或者Python中的“取模”，就都能解释了。
解释C: -10 = (-3) ' 3 + (-1)
解释Python：-10 = （?）' 3 + 2,其中，可以推导出来,'?'必须是-4(至于为什么,后面验证),即-10 = （-4）' 3 + 2，才能满足定义。
所以，在不同语言，同一个计算表达式，负数“取模”结果是不同的。我们可以称之为分别叫做正余数和负余数

是什么决定了这种现象?

具体余数r的大小,本质是取决于商的,商确定了,余数自然就能确定.

而商取决于什么? 答案是,取决于除法计算的时候,结果的取整规则.